Задание 14 — это стереометрия во второй части ЕГЭ по профильной математике. Максимум — 3 балла. Одно из самых сложных заданий экзамена, но решаемое при правильном подходе и системной подготовке.
Структура задания 14
Задание содержит два пункта с разной балльной ценностью:
- Пункт а) — 1 балл: доказать геометрическое утверждение (перпендикулярность, параллельность прямых или плоскостей, принадлежность точки линии и т.д.)
- Пункт б) — 2 балла: найти расстояние, угол, длину или отношение
Важно: пункты независимы в смысле баллов! Если пункт а) не доказан или доказан неправильно, в пункте б) можно получить 2 балла, если решить его без опоры на утверждение из пункта а). Если же вы используете недоказанное утверждение из пункта а), за пункт б) будет 1 балл максимум. Это критически важно для стратегии решения.
Что требуется знать
Для решения задания 14 нужны:
- Свойства многогранников: куб, параллелепипед, пирамида (в т.ч. правильная), призма (в т.ч. правильная)
- Перпендикулярность и параллельность: признаки и определения, теорема о трёх перпендикулярах
- Угол между объектами: между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями (дихедральный угол)
- Расстояния: от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между скрещивающимися прямыми
- Координатный метод (опционально): векторы, скалярное произведение, уравнение плоскости, смешанное произведение
Ключевой момент: в задании 14 пункт а) требует классической геометрии — построений, свойств перпендикулярности, логических цепочек. Пункт б) часто решается либо геометрически, либо координатным методом. Смешивать подходы внутри одного пункта не рекомендуется — выберите один и используйте его последовательно.
Два подхода к решению пункта б)
Подход 1: Классическая геометрия
Для угла между прямой и плоскостью: найдите проекцию прямой на плоскость, постройте угол в прямоугольном треугольнике между прямой и её проекцией, используйте синус.
Для дихедрального угла между плоскостями: найдите линию пересечения, в ней выберите точку, восстановите перпендикуляры в обе плоскости — угол между ними и есть дихедральный угол.
Для расстояния от точки до плоскости: постройте перпендикуляр, найдите его длину через объём (если есть тетраэдр), высоту или прямоугольный треугольник.
Для расстояния между скрещивающимися прямыми: постройте общий перпендикуляр или используйте объём.
Подход 2: Координатный метод
Шаг 1: выберите удобное начало координат (обычно вершина куба, вершина при основании пирамиды или центр основания).
Шаг 2: выпишите координаты всех нужных точек и найдите направляющие векторы или нормали плоскостей.
Шаг 3: используйте формулы:
- Косинус угла между прямыми: cos α = |a⃗·b⃗| / (|a⃗||b⃗|)
- Синус угла между прямой и плоскостью: sin α = |a⃗·n⃗| / (|a⃗||n⃗|), где n⃗ — нормаль плоскости
- Косинус угла между плоскостями: cos α = |n₁⃗·n₂⃗| / (|n₁⃗||n₂⃗|)
- Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до плоскости ax+by+cz+d=0: ρ = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
Типичный пример
Условие: В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 1 точка M — середина ребра AB. Докажите (пункт а), что прямая DM перпендикулярна плоскости B₁C₁CB. Найдите расстояние от точки B до прямой D₁M (пункт б).
Решение пункта а) — геометрически:
В кубе вводим ориентацию: DA — ось x, DC — ось y, DD₁ — ось z. Плоскость BCC₁B₁ содержит грань куба, перпендикулярную оси x. Вектор DM лежит в плоскости основания и направлен от D(0,0,0) к M(0.5,1,0). Этот вектор имеет компоненту только по осям y и диагональ xy. Покажите, что DM перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCC₁B₁ (например, BC и BB₁) — тогда перпендикулярна всей плоскости.
Решение пункта б) — координатным методом:
Координаты: B(1,0,0), D(0,0,0), M(0.5,1,0), D₁(0,0,1).
Вектор D₁M = (0.5, 1, -1), вектор D₁B = (1, 0, -1).
Расстояние от B до прямой D₁M: используем формулу ρ = |D₁B⃗ × D₁M⃗| / |D₁M⃗|.
Вычислив, получим ρ = √(1/2) = √2/2.
Готовитесь к заданию 14?
Запишитесь на пробный урок — разберём стереометрию на реальных вариантах ЕГЭ, выберем удобный метод и закроем пробелы.
Записаться на урокЧастые ошибки
- Ошибка при опоре на недоказанное утверждение в пункте а). Если утверждение в пункте а) не доказано, используйте его в пункте б) только если можете решить пункт б) без этого утверждения. Иначе получите максимум 1 балл вместо 2.
- Путаница между углом между прямыми и углом между прямой и плоскостью. Угол между прямыми может быть до 90°, угол между прямой и плоскостью всегда от 0° до 90°.
- Неправильное построение перпендикуляра. Перпендикуляр из точки к плоскости должен быть перпендикулярен ко всей плоскости, а не к одной линии в ней.
- Ошибки при определении дихедрального угла. Часто берут неправильные линии для построения перпендикуляров — они должны лежать в своих плоскостях и быть перпендикулярны линии пересечения.
- Ошибки в координатном методе. Неверное определение нормали плоскости — проверьте, что нормаль перпендикулярна двум независимым векторам в плоскости.
На что рассчитывать при подготовке
В заданиях 14 на ЕГЭ чаще всего встречаются:
- Углы в кубе и параллелепипеде — вычисление угла между прямой и плоскостью (40% вариантов)
- Расстояния в правильной пирамиде — от вершины до грани, между рёбрами (35%)
- Углы между плоскостями в смешанных конструкциях (15%)
- Расстояния между скрещивающимися прямыми (10%)
Рекомендую потратить основное время на кубы, параллелепипеды и правильные пирамиды — это даст вам инструменты для 80% вариантов ЕГЭ.
Стратегия на экзамене
- Сначала решите пункт а) геометрически — постройте чертёж, используйте признаки и свойства.
- Если пункт а) не получился, начните пункт б) заново, без опоры на а) — так можете взять 2 балла вместо 1.
- Координатный метод для пункта б) обычно безопаснее, если вы в нём уверены — меньше логических пробелов.
- Не бойтесь решить оба пункта координатно, если классическая геометрия не идёт — главное, чтобы решение было верным.